题目描述
新学期伊始,适逢顿顿书城有购书满 x 元包邮的活动,小 P 同学欣然前往准备买些参考书。
一番浏览后,小 P 初步筛选出 n 本书加入购物车中,其中第 i 本(1≤i≤n)的价格为 ai 元。
考虑到预算有限,在最终付款前小 P 决定再从购物车中删去几本书(也可以不删),使得剩余图书的价格总和 m 在满足包邮条件(m≥x)的前提下最小。
试帮助小 P 计算,最终选购哪些书可以在凑够 x 元包邮的前提下花费最小?
输入格式
从标准输入读入数据。
输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 n 和 x,分别表示购物车中图书数量和包邮条件。
接下来输入 n 行,其中第 i 行(1≤i≤n)仅包含一个正整数 ai,表示购物车中第 i 本书的价格。输入数据保证 n 本书的价格总和不小于 x。
输出格式
输出到标准输出。
仅输出一个正整数,表示在满足包邮条件下的最小花费
思路
这个题目通常可能会考虑回溯的做法,然而这种方法很容易超时。这里先放满分解法:转换为01背包。
01背包(建议理解)
初看这题的时候可能觉得背包容量难以确定,但可以反向思考。
这里设书籍的总价值为sum
,我们所要求的答案为ans
,而除去ans
包含书籍的剩下的书籍的价值为ex = sum-ans
。显然易见的,ans >= x
,那么ans
能取到的最小值就是x
。那么ex
的范围则可以确定为[0,sum-x]
。
此时问题就可以转为求ex
在其取值范围内的最大值,因为当ex
取到最大值时,我们就可以得到想要的ans
。此时背包的容量就等于sum-ex
,书籍的价值与质量相等,成功转换为01背包问题。
import java.io.*;public class Main { static StreamTokenizer sc = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in))); static PrintWriter out = new PrintWriter(System.out); public static void main(String[] args) throws IOException { sc.nextToken(); int n = (int) sc.nval; sc.nextToken(); int x = (int) sc.nval; int[] a = new int[n]; int sum = 0; for (int i = 0; i =x时的实际最小值,实际就是在求ex范围内的最大值 int target = sum - x; int[] dp = new int[target + 1]; for (int i = 0; i = a[i]; --j) { dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - a[i]] + a[i]); } } out.println(sum - dp[target]); out.flush(); }}
回溯(只有95分)
实际上就是分两种情况
- 选择这本书,达到了包邮条件,而且还比当前值更小,更新
- 选择这本书,不够包邮,继续看下一本书。
并且要注意要从当前这本书的下一本书计算,不然容易重复判断
import java.io.*;public class Main { static StreamTokenizer sc = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in))); static PrintWriter out = new PrintWriter(System.out); static int n, x; static int ans = Integer.MAX_VALUE; static int[] a = new int[31]; public static void main(String[] args) throws IOException { sc.nextToken(); n = (int) sc.nval; sc.nextToken(); x = (int) sc.nval; for (int i = 0; i < n; i++) { sc.nextToken(); a[i] = (int) sc.nval; } dfs(0, 0); out.println(ans); out.flush(); } static void dfs(int pos, int now) { if (ans == x) return; for (int i = pos; i = x && now + a[i] < ans) { ans = now + a[i]; } else if (now + a[i] < x) { // 搜寻下一本书 dfs(i + 1, now + a[i]); } } }}