最近看论文,看到了Wilcoxon signed-rank test(符号秩检验),咱也不知道是个啥,就学习了一下,这里做一下笔记,方便以后查阅。

非参数检验——Wilcoxon 检验

  • 非参数检验
    • 概念
    • 非参数检验和参数检验的对比
    • 参数检验与非参数检验的方法对比
    • 非参数检验的方法
  • Wilcoxon 检验
    • Wilcoxon rank-sum test(秩和检验)
      • 基本概念
      • 应用实例
      • 编程实现
    • Wilcoxon signed-rank test(符号秩检验)
      • 基本概念
      • 应用实例
      • 编程实现
      • Wilcoxon 符号秩检验临界表
  • Friedman 检验与 Nemenyi 后续检验
    • 计算序值
    • Friedman 检验
    • Nemenyi 后续检验
    • Python实现
  • 参考资料

非参数检验

概念

数据描述的三个角度:集中趋势,离散程度和分布形态。

常用统计推断检验方法分为两大类:参数检验和非参数检验。

参数检验通常是假设总体服从正态分布,样本统计量服从T分布的基础之上,对总体分布中一些未知的参数,例如总体均值、总体方差和总体标准差等进行统计推断。

如果总体的分布情况未知,同时样本容量又小,无法运用中心极限定理实施参数检验,推断总体的集中趋势和离散程度的参数情况。这时,可以用非参数检验,非参数检验对总体分布不做假设,直接从样本的分析入手推断总体的分布。

非参数检验和参数检验的对比


① 适用范围

非参数检验用作参数检验的替代方法,当数据不满足正态性时,将使用非参数检验。因此,关键是要弄清楚是否具有正态分布。如果数据大致呈现”钟型”分布,则可以使用参数检验。

② 检验效能

如果数据满足参数分布,应该优先选择参数检验方法。愿因在于参数检验的检验效能要高于非参数检验。尤其是在样本数较大的情况下,参数检验结果较为稳健,所以即使不服从正态分布,也会选择参数检验。

③ 对比指标

参数检验一般用平均值反映数据的集中趋势;但由于数据不满足正态分布,在非参数检验中如果再使用平均值描述显然不太准确(比如常被吐槽的人均收入),此时中位数是更好的选择。

  1. 参数检验分析结果

    参数检验用平均值及标准差描述数据分布请况。

  2. 非参数检验分析结果

    非参数检验结果中使用的是中位数描述差异。

④ 图形展示

除了使用以上指标进行分析,还可以通过图形直观展示数据情况。参数检验常用图形有:折线图、条形图等,非参数检验可以使用箱线图查看。

折线图

箱线图

参数检验与非参数检验的方法对比

凡是在分析过程中不涉及总体分布参数的检验方法,都可以称为“非参数检验”。因而,与参数检验一样,非参数检验包括许多方法。以下是最常见的非参数检验及其对应的参数检验对应方法:

非参数检验的方法

非参数检验的方法是五花八门,名字也是千奇百怪,但是,这些方法有它们的共性。

上面介绍了,因为对总体的分布形态不清楚或总体分布不是正态分布,所以无法用参数检验来推断总体的集中趋势和离散程度的参数。

统计学家想到用排秩(排序)的方法来规避不是正态分布的问题,用样本的排序情况来推断总体的分布情况。这就好比梁山一百单八将排好了座次,从中随机抽出几个,测试武力值,大概其能够了解梁山的实力如何。

下图是非参数检验常用的检验方法表:

Wilcoxon 检验

Frank Wilcoxon (1892—1965) 是美国的统计学家,发表了 70 篇左右论文,但其最大的贡献就是这 2 个以他名字命名的非参假设检验方法秩和检验符号秩检验。他在 1945 年发表的论文 1 中将二者分别称为 非成对检验 (unpaired experiment)和 成对检验(paired comparison)。 正是因为其巨大影响力使得这两个检验方法都以他的名字命名,并流传下来。

Wilcoxon rank-sum test(秩和检验)

基本概念

在统计学中,Wilcoxon rank-sum test(威尔科克森秩和检验) 也叫 Mann-Whitney U test(曼-惠特尼 U 检验),或者 Wilcoxon-Mann-Whitney test。秩和检验是一个非参的假设检验方法,一般用来检测 2 个数据集是否来自于相同分布的总体。

这里的 “秩” 其实就是 “排名” 的意思,“秩和” 当然就是指 “将排名进行求和” 的操作。在秩和检验中,我们不要求被检验的 2 组数据包含相同个数的元素,换句话说,秩和检验更适用于非成对数据之间的差异性检测。

应用实例

假设我们有 2 组数据 x1 x_{1}x1 x2 x_{2}x2,如下表所示, x1 x_{1}x1中有 7 个元素(列 x1 x_1x1中), x2 x_{2}x2中有 8 个元素(列 x2 x_{2}x2中),现在使用秩和检验判断这 2 组数据是否存在显著性差异。


步骤 1:我们首先将 x1 x_{1}x1 x2 x_{2}x2整合成一个序列,并按升序重新排序,序号记在表中的 r a n krankrank列当中。我们分别计算 2 组数据的排名之和 R1 R_{1}R1 R2 R_{2}R2有:

注意,当我们计算若干等值元素的排名时,会用这些元素排名的平均值作为它们在整个序列中的排名。例如 x1 x_{1}x1中的第 2 个元素与 x2 x_{2}x2中第3 个元素的值都等于 5,且这 2 个 5 在整个序列中的排名分别是第 5 和第 6,因此这两个元素的排名为5 + 62= 5.5\frac{5+6}{2}=5.525+6=5.5 。其余等值元素的排名计算也与之类似。

步骤 2:令 n1 n_{1}n1 n2 n_{2}n2分别表示 2 组数据的个数,即 n1= 7n_{1}=7n1=7, n2= 8n_{2}=8n2=8。再令 T TT 表示小样本的排名和,即 T = R1= 77.5T = R_1 = 77.5T=R1=77.5。根据计算公式可得 U1 U_{1}U1 U2 U_{2}U2的值如下:


步骤 3:由于 U1 U_{1}U1更小,我们依此来查 Wilcoxon 双尾临界表,当 α = 0.05 , n1= 7 , n2= 8α = 0.05 , n_1 = 7 , n_2 = 8α=0.05,n1=7,n2=8时的临界值是 10。因为 U1< 10U_{1} < 10U1<10,故应该拒绝原假设。

最终结论是: x1 x_{1}x1 x2 x_{2}x2存在统计意义上的显著性差异,它们可能来自分布不同的总体。

编程实现

在 python 中我们调用 scipy 包来里的 stats.mannwhitneyu() 函数来实现秩和检验,如下代码:

from scipy import statsx = [9,5,8,7,10,6,7]y = [7,4,5,6,3,6,4,4]def wilcoxon_rank_sum_test(x, y):res = stats.mannwhitneyu(x ,y)print(res)wilcoxon_rank_sum_test(x, y)wilcoxon_rank_sum_test(y, x)

Wilcoxon signed-rank test(符号秩检验)

基本概念

Wilcoxon signed-rank test(威尔科克森符号秩检验)也是一种非参的假设检验方法,它成对的检查 2 个数据集中的数据(即 paired difference test)来判断 2 个数据集是否来自相同分布的总体。

应用实例

假设我们有 2 组数据 y1 y_{1}y1 y2 y_{2}y2,如下表所示。我们按照如下 3 步来计算 wilcoxon signed-rank test 的结果。

步骤 1:首先对 y1 y_{1}y1 y2 y_{2}y2两两成对配对形成 10 个数据对(即 I D = 0 , . . . , 9ID=0,…,9ID=0,,9),然后将这 10 个数据对两两求差,得到符号位 s i g nsignsign列。具体的做法是:当 y1 y_1y1元素比 y2 y_2y2对应元素大时,符号位为正,即 + 1+1+1;当 y1 y_1y1元素比 y2 y_2y2对应元素小时,符号位为负,即 − 1-11。例如,在 I D = 1ID=1ID=1的数据对中, 125 > 110125 > 110125>110,故其符号位为 + 1+1+1.

步骤 2: 首先对 y1 y_{1}y1 y2 y_{2}y2两两成对求差得到绝对值 a b sabsabs列,然后根据 a b sabsabs列排序得到 r a n krankrank列。当某一对 y1 y_{1}y1 y2 y_{2}y2的元素相等时,即 a b s = 0abs=0abs=0时,我们不计算其 r a n krankrank值。例如,在 I D = 4ID=4ID=4的数据对中, y1 y_1y1 y2 y_2y2的值都是 140,因此这对数组没有排名值。

步骤 3: 有了这个 s i g nsignsign r a n krankrank列的结果后,我们就可以来计算秩和了,其中大于 0 的秩和 W+ W^{+}W+和 对于小于 0 的秩和 W− W^{-}W,以及最终的符号秩和 ∣ W ∣|W|W如下所示,


步骤 4:最后我们根据 ∣ W ∣|W|W 来查表,我们得到当 Wilcoxon 在 α = 0.05\alpha=0.05α=0.05 n = 9n = 9n=9的时候的临界值是 5,而我们计算出来的 ∣ W ∣ = 9 > 5|W| = 9 > 5W=9>5,因此我们不能拒绝原假设。最终结论是: y1 y_{1}y1 y2 y_{2}y2不存在统计意义上的显著性差异,它们可能来自于同一分布的总体。

编程实现

在 python 中我们调用 scipy 包来里的 stats.wilcoxon() 函数来实现秩和检验,如下代码,

from scipy import statsx = [125,115,130,140,140,115,140,125,140,135]y = [110,122,125,120,140,124,123,137,135,145]def wilcoxon_signed_rank_test(x, y):res = stats.wilcoxon(x ,y)print(res)wilcoxon_signed_rank_test(x, y)wilcoxon_signed_rank_test(y, x)


得到的结果如下,其中 s t a t i s t i c = 18.0statistic = 18.0statistic=18.0,表示 2 类符号秩和较小的一个( ∣ W+ |W^{+}W+ ∣ W−∣|W^{-}|W最小的是 181818); p v a l u e = 0.5936 …pvalue=0.5936…pvalue=0.5936 就是我们需要的 p − v a l u ep-valuepvalue 值。之所以出现 Warning 信息是因为我们的数据量太少,一般来讲大于 202020 是比较合适做假设检验的。

warnings.warn(“Sample size too small for normal approximation.”)”>

Wilcoxon 符号秩检验临界表


2022年10月12日更新:
我太难了,又看到了Friedman算法,这是个啥,不知道啊,接着学习吧,记录一下!

Friedman 检验与 Nemenyi 后续检验

当我们提出一种算法,需要知道我们的算法和现在已有的算法相比,性能是否更优的时候,就需要用到模型性能评估的方法。

Friedman 检验与 Nemenyi 后续检验方法的特点是:可以进行多个算法的比较

计算序值

假定我们用 D1、 D2、 D3 D_1、D_2、D_3D1D2D3 D4 D_4D4四个数据集对算法 AAA BBB CCC进行比较。

首先需要得到每个算法在每个数据集上的测试结果,可以是准确率,也可以是均方误差,然后在每个数据上根据测试性能的好坏进行排序,并赋予序值 1,2,…。

如果算法的测试性能相同,则评分排名。
比如,在 D1 D_1D1 D3 D_3D3上, AAA 最好、 BBB次之, CCC 最差,而在 D2 D_2D2 AAA 最好 BBB CCC性能相同,…,则可以列出如下表所示的序值表,对每一列的序值进行求平均,得到平均序值。

Friedman 检验

使用 Friedman 检验来判断这些算法是否性能相同。如果相同,则他们的平均序值应该相等。

假定我们在 NNN个数据集上比较 kkk个算法,令 ri r_iri表示第 iii个算法的平均序值。为简化讨论,暂时不考虑平分序值的情况,则 ri r_iri服从正态分布,其均值和方差分别为 ( k + 1 ) / 2(k+1)/2(k+1)/2 ( k2− 1 ) / 12(k^2-1)/12(k21)/12。变量


kkk NNN都较大时,服从自由度为 k − 1k-1k1 χ2 \chi^2χ2分布。

然后,上述的这样的 “原始 Friedman 检验” 过于保守,现在通常使用变量


其中, τF \tau_FτF服从自由度为 k − 1k-1k1 ( k − 1 ) ( N − 1 )(k-1)(N-1)(k1)(N1) FFF分布。常用的临界值可以见下表。


若 “所有算法的性能相同” 这个假设被拒绝,则说明算法的性能显著不同。

Nemenyi 后续检验

这个时候就需要使用 “后续检验”(post-hoc test)来进一步区分算法。常用的算法是 Nemenyi 后续检验。

Nemenyi 检验计算出平均序值差别的临界值域


下表给出了 α = 0.05\alpha = 0.05α=0.05 0.10.10.1时常用的 qα q_\alphaqα值。

若两个算法的平均序值之差超出了临界值域#CD# ,则以相应的置信度拒绝 “两个算法性能相同” 这一假设。

Python实现

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef Friedman(n, k, data_matrix):'''Friedman 检验:param n:数据集个数:param k: 算法种数:param data_matrix:排序矩阵:return:T1''' # 计算每个算法的平均序值row, col = data_matrix.shape# 获取矩阵的行和列xuzhi_mean = list()for i in range(col):# 计算平均序值xuzhi_mean.append(data_matrix[:, i].mean())# xuzhi_mean = [1.0, 2.125, 2.875] list列表形式sum_mean = np.array(xuzhi_mean)# 转成 numpy.ndarray 格式方便运算 sum_ri2_mean = (sum_mean ** 2).sum()# 整个矩阵内的元素逐个平方后,得到的值相加起来result_Tx2 = (12 * n) * (sum_ri2_mean - ((k * ((k + 1) ** 2)) / 4)) / (k * (k + 1))# P42页的公式result_Tf = (n - 1) * result_Tx2 / (n * (k - 1) - result_Tx2)# P42页的公式return result_Tfdef nemenyi(n, k, q):'''Nemenyi 后续检验:param n:数据集个数:param k:算法种数:param q:直接查书上2.7的表:return:'''cd = q * (np.sqrt((k * (k + 1) / (6 * n))))return cddata = np.array([[1, 2, 3], [1, 2.5, 2.5], [1, 2, 3], [1, 2, 3]]) T1 = Friedman(4, 3, data)cd = nemenyi(4, 3, 2.344)print('tf={}'.format(T1))print('cd={}'.format(cd)) # 画出CD图row, col = data.shape# 获取矩阵的行和列xuzhi_mean = list()for i in range(col):# 计算平均序值xuzhi_mean.append(data[:, i].mean())# xuzhi_mean = [1.0, 2.125, 2.875] list列表形式sum_mean = np.array(xuzhi_mean)# 这一句可以表示上面sum_mean: rank_x = list(map(lambda x: np.mean(x), data.T))# 均值 [1.0, 2.125, 2.875]name_y = ["A1", "A2", "A3"]# 散点左右的位置min_ = sum_mean - cd / 2max_ = sum_mean + cd / 2# 因为想要从高出开始画,所以数组反转一下name_y.reverse()sum_mean = list(sum_mean)sum_mean.reverse()max_ = list(max_)max_.reverse()min_ = list(min_)min_.reverse()# 开始画图plt.title("Friedman")plt.scatter(sum_mean, name_y)# 绘制散点图plt.hlines(name_y, max_, min_)plt.show()

参考资料

如何理解非参数检验?

非参数检验思路总结,清晰理解就靠它了!

Wilcoxon 检验之 rank-sum 与 signed-rank

威尔科克森(Wilcoxon)符号秩检验:定义,运行方式

Wilcoxon Signed Rank Test: Definition, How to Run, SPSS

模型性能评估之 Friedman 检验与 Nemenyi 后续检验

【西瓜书 第二章】2.4.4 Friedman 检验 和 Nemenyi 检验