分部积分法习题

前置知识：分部积分法

例题

计算积分 In= ∫ [ ( x + a )2+ b2] − kd x ( n ≥ 1 )I_n=\int [(x+a)^2+b^2]^{-k}dx \quad(n\geq 1)In​=∫[(x+a)2+b2]−kdx(n≥1)

解：
\qquad用分部积分法，对任何自然数$k\ge 1$，有

Ik= ∫dx[(x+a ) 2+ b 2] d x =x+a[(x+a ) 2+ b 2 ] k + 2 k ∫(x+a ) 2[(x+a ) 2+ b 2 ] k+1d x\qquad I_k=\int\dfrac{dx}{[(x+a)^2+b^2]}dx=\dfrac{x+a}{[(x+a)^2+b^2]^k}+2k\int\dfrac{(x+a)^2}{[(x+a)^2+b^2]^{k+1}}dxIk​=∫[(x+a)2+b2]dx​dx=[(x+a)2+b2]kx+a​+2k∫[(x+a)2+b2]k+1(x+a)2​dx

=x+a[(x+a ) 2+ b 2 ] k + 2 k ∫ [1 ((x+a ) 2+ b 2 ) k −b2((x+a ) 2+ b 2 ) k+1] d x\qquad \qquad =\dfrac{x+a}{[(x+a)^2+b^2]^k}+2k\int[\dfrac{1}{((x+a)^2+b^2)^k}-\dfrac{b^2}{((x+a)^2+b^2)^{k+1}}]dx=[(x+a)2+b2]kx+a​+2k∫[((x+a)2+b2)k1​−((x+a)2+b2)k+1b2​]dx

=x+a[(x+a ) 2+ b 2 ] k + 2 k Ik− 2 k b2⋅ I k + 1 \qquad \qquad =\dfrac{x+a}{[(x+a)^2+b^2]^k}+2kI_k-2kb^2\cdot I_{k+1}=[(x+a)2+b2]kx+a​+2kIk​−2kb2⋅Ik+1​

由此可得 Ik I_kIk​的递推公式为

I k + 1=1 2k b 2 [ x ( x2+ b2) − k+ ( 2 k − 1 ) Ik]I_{k+1}=\dfrac{1}{2kb^2}[x(x^2+b^2)^{-k}+(2k-1)I_k]Ik+1​=2kb21​[x(x2+b2)−k+(2k−1)Ik​]

当$k=1$时，直接计算可得

I1= ∫1 (x+a ) 2+ b 2 d x =1 b∫d( x+ab)1+( x+ab ) 2 =1 barctan ⁡ (x+ab) + CI_1=\int \dfrac{1}{(x+a)^2+b^2}dx=\dfrac 1b\int \dfrac{d(\frac{x+a}{b})}{1+(\frac{x+a}{b})^2}=\dfrac 1b\arctan(\dfrac{x+a}{b})+CI1​=∫(x+a)2+b21​dx=b1​∫1+(bx+a​)2d(bx+a​)​=b1​arctan(bx+a​)+C

再由递推公式可得 I2, I3. … , In I_2,I_3.\dots,I_nI2​,I3​.…,In​的表达式。