目录
一，根轨迹的基本概念
1.根轨迹的基本概念
2.根轨迹方程
3.根轨迹方程的应用
二，根轨迹的绘制规则
【规则一】根轨迹有n条分支：
【规则二】根轨迹对称于实轴：
【规则三】根轨迹的起点和终点：
【规则四】实轴上的根轨迹：
【规则五】根轨迹的渐近线：
【规则六】根轨迹的分离、会合点：
【规则七】出射角（起始角）和入射角（终止角）：
【规则八】根轨迹与虚轴的交点：
【规则九】根之和与根之积：
小 结：
三，系统零极点分布与响应的关系
闭环极点对系统阶跃响应的影响：
闭环零点对系统阶跃响应的影响：
闭环偶极子：
四，利用根轨迹解决工程问题
一、求控制参数（增益）的稳定边界
二、使系统具有单调过渡过程的增益范围：
三、满足调整时间要求的控制参数（增益）：
四、满足超调量要求的系统增益：
五，广义根轨迹
一、参数（量）根轨迹的绘制：
二、零度根轨迹：
六，根轨迹校正
一、根轨迹的改造：
二、根轨迹校正反馈系统
一，根轨迹的基本概念
1.根轨迹的基本概念
闭环传递函数决定控制系统的性能：
稳定性（闭环极点位于s左半平面）快速性（动态性能:取决于闭环极点和零点）准确性（静态误差:取决于型别、开环增益和输入）
高阶系统的闭环极点难以计算，因此需要探索不求解高阶代数方程，也能确定系统的闭环特征根（闭环极点）、进而分析系统闭环动态特性的有效方法。 根轨迹法(Root locus method):利用控制系统的开环极点求其闭环极点的一种作图法
根轨迹：系统中某个参量由零到无穷大变化时，其闭环极点在s平面上移动的轨迹。根轨迹法：不用求解闭环特征方程，而利用开环零极点求出闭环极点的轨迹，研究系统性能的方法。
根轨迹法的特点：1）图解法，形象、直观；2）近似方法。3）适合研究某一参数变化时系统的性能。
2.根轨迹方程
3.根轨迹方程的应用
1. 根据角条件绘制根轨迹(充要条件)
2. 根据模条件确定根轨迹增益
二，根轨迹的绘制规则
在根轨迹图中，“ ”表示开环极点，“ ”表示开环零点。粗实线表示根轨迹，箭头表示参数增加的方向。
【规则一】根轨迹有n条分支：
n阶实系数代数方程在复数域有n个根，因此n阶系统的根轨迹有n条分支。
【规则二】根轨迹对称于实轴：
实系数的闭环特征（代数）方程的根必对称于实轴。
【规则三】根轨迹的起点和终点：
根轨迹方程为：
亦称系统有n–m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点的个数等于极点数（=根轨迹条数=系统阶次n）。
【规则四】实轴上的根轨迹：
若实轴上某一线段的右边，开环零点和开环极点的数目之和为奇数（odd），则该线段为根轨迹的一部分。
若实轴上某一线段的右边，开环零点和开环极点的数目之和为奇数，则该线段为根轨迹的一部分。
【规则五】根轨迹的渐近线：
k→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n–m条。这n–m条根轨迹趋向无穷远的方向由渐近线决定。
【规则六】根轨迹的分离、会合点：
不同的根轨迹分支在s平面上相交的点，称为根轨迹的分离、会合点。
分离、会合点的求法：
①求导法：根轨迹在实轴上的分离、会合点表示这些点是闭环特征方程的重根点。
注意：由上式可求得的点是分离、会合点必要条件，还需求出这些点对应的增益，若增益为大于零的实数，则所求出的点为分离、会合点。
②工程法：
定理：当系统有2个开环极点、 1个或2个开环零点，并且在复平面上有根轨迹时，则复平面上的根轨迹一定是以零点为圆心的圆弧
【规则七】出射角（起始角）和入射角（终止角）：
【规则八】根轨迹与虚轴的交点：
根轨迹和虚轴相交时，闭环特征方程有一对共轭纯虚根，系统处于临界稳定状态。这时的增益 称为临界根轨迹增益。
【规则九】根之和与根之积：
小 结：
需掌握绘制根轨迹的九条规则：
三，系统零极点分布与响应的关系
控制系统的闭环极点、零点与系统的稳定性及动态性能有密切关系。闭环零点与开环零点相同，闭环极点由根轨迹方程表示出来。
闭环极点对系统阶跃响应的影响：
单位阶跃响应为：
响应输出为叠加而成的信号，与模态、分量大小有关。
（1）稳定性：sj应位于s左半平面；
（2）快速性：极点尽可能远离虚轴；
（3）平稳性：振荡要小，接近最佳阻尼比；
（4）利用闭环主导极点进行高阶系统的近似处理；
（5）闭环零点可以削弱其附近闭环极点对系统的影响（对应的留数小）。
闭环零点对系统阶跃响应的影响：
闭环偶极子：
闭环偶极子：复平面上很接近的一对闭环零极点
相对于其他零极点，相互距离在1/10以下的一对闭环偶极子对系统响应的影响可以忽略。
四，利用根轨迹解决工程问题
一、求控制参数（增益）的稳定边界
二、使系统具有单调过渡过程的增益范围：
三、满足调整时间要求的控制参数（增益）：
四、满足超调量要求的系统增益：
利用根轨迹解决工程问题，实际上是根据系统性能指标的要求，求出主导极点在s平面的分布区域
五，广义根轨迹
一、参数（量）根轨迹的绘制：
绘制参数根轨迹，需由系统的闭环特征方程导出一个新的等效开环传递函数Go1(s)。 在Go1(s)中，可变参数的位置与常规根轨迹中的根增益 k 位置相同。
二、零度根轨迹：
零度根轨迹的绘制规则：
六，根轨迹校正
一、根轨迹的改造：
1、增加开环零点对根轨迹的影响：
1）改变了根轨迹在实轴上的分布；
2）改变了渐近线的条数、与实轴的交点、夹角；
3）可以抵消对系统不利的闭环极点（构成偶极子）；
4）根轨迹左移（零点要适当），对稳定性有利；
2、增加开环极点对根轨迹的影响
1）改变了根轨迹的条数；
2）改变了根轨迹在实轴上的分布；
3）改变了渐近线的条数、与实轴的交点、夹角；
4）根轨迹右移（极点要适当），对稳定性不利；
3、增加开环偶极子对根轨迹的影响
二、根轨迹校正反馈系统
step: 1）暂态性能指标→期望的闭环主导极点；
2）绘制原系统的根轨迹，确定是否增加校正装置；
3）校正后系统根轨迹通过期望闭环主导极点，检验开环比例系数是否满足静态指 标（否则，增加开环偶极子以改善之）；
4）检验暂、静态指标。