文章目录

• 版权声明
• 基础概念
• 矩阵的运算
• • 矩阵的加法
  • 数与矩阵相乘
  • 矩阵的乘法
  • 矩阵的转置
• 矩阵和方程组
• 方阵和行列式
• 伴随矩阵
• 可逆矩阵
• 分块矩阵
• 矩阵的初等变换
• • 初等矩阵
  • 等价矩阵
  • 行阶梯矩阵
  • 行最简矩阵
  • 初等变换在矩阵求解中的应用
• 矩阵的秩

版权声明

本文大部分内容皆来自李永乐老师考研教材和视频课。

基础概念

• 矩阵：由$m\times n$个数组成的$m$行$n$列的表格称为一个$m\times n$矩阵，记为$A$。当$m=n$时，称$A$为$n$阶矩阵。
  [ a11a12… a 1 na21a22… a 2 n⋮⋮⋮a m 1a m 2… a m n]\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn} \end{bmatrix} ​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​………​a1n​a2n​⋮amn​​​ ​
• 同型矩阵：如果$A$和$B$都是$m\times n$矩阵，那么称$A$和$B$是同型矩阵。
• 相等矩阵：设$A,B$是同型矩阵，如果 a ij = b ij (∀i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)a_{ij}=b_{ij}(\forall i=1,2,\dots,m;j=1,2,\dots,n) aij​=bij​(∀i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，则称$A$和$B$相等，记为$A=B$。
• 零矩阵：如果一个矩阵的所有元素都是$0$，那么就称这个矩阵为零矩阵，记为$O$。
• 对角矩阵： [ a11a22⋱ a n n]\begin{bmatrix} a_{11}&&\\ &a_{22}&\\ &&\ddots&\\ &&&a_{nn} \end{bmatrix} ​a11​​a22​​⋱​ann​​ ​
• 单位矩阵： [ 1 1 ⋱ 1 ]\begin{bmatrix} 1&&\\ &1&\\ &&\ddots&\\ &&&1 \end{bmatrix} ​1​1​⋱​1​ ​记为$E$。
• 上三角矩阵： [ a11a12… a 1 na22… a 2 n⋱ ⋮a n n]\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ &a_{22}&\dots&a_{2n}\\ &&\ddots&\vdots\\ &&&a_{nn} \end{bmatrix} ​a11​​a12​a22​​……⋱​a1n​a2n​⋮ann​​ ​当$i>j$时， a ij =0a_{ij}=0 aij​=0
• 下三角矩阵： [ a11a21a22⋮⋮⋱ a n 1a n 2… a n n]\begin{bmatrix} a_{11}&&&\\ a_{21}&a_{22}&&\\ \vdots&\vdots&\ddots&\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{bmatrix} ​a11​a21​⋮an1​​a22​⋮an2​​⋱…​ann​​ ​当$i<j$时， a ij =0a_{ij}=0 aij​=0

矩阵的运算

矩阵的加法

若 A = [ a i j] , B = [ b i j]A=[a_{ij}],B=[b_{ij}]A=[aij​],B=[bij​]为同型矩阵，那么
A+B=[ a ij + b ij ]A+B=[a_{ij}+b_{ij}] A+B=[aij​+bij​]
加法运算法则（$A,B,C$同型）：

• $A+B=B+A$
• $(A+B)+C=A+(B+C)$
• $A+O=A$
• $A+(-A)=O$

数与矩阵相乘

kA=[k a ij ]kA=[ka_{ij}] kA=[kaij​]
数乘运算法则：

• $k(mA)=m(kA)=(mk)A$
• $(k+m)A=kA+mA$
• $k(A+B)=kA+kB$
• $1A=A$
• $0A=O$

矩阵的乘法

若 A = [ a i j] m × s, B = [ b i j] s × n A=[a_{ij}]_{m\times s},B=[b_{ij}]_{s\times n}A=[aij​]m×s​,B=[bij​]s×n​，则A×B=C=[ c ij] m×n A\times B=C=[c_{ij}]_{m\times n} A×B=C=[cij​]m×n​其中 c ij = a i1b 1j + a i2b 2j +⋯+ a isb sj = ∑ k=1n a ikb kj c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{is}b_{sj}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj} cij​=ai1​b1j​+ai2​b2j​+⋯+ais​bsj​=k=1∑n​aik​bkj​
乘法运算法则：

• $A(BC)=(AB)C$
  证明：设A=[ a ij] m×s A=[a_{ij}]_{m\times s} A=[aij​]m×s​，B=[ b ij] s×t B=[b_{ij}]_{s\times t} B=[bij​]s×t​，C=[ c ij] t×n C=[c_{ij}]_{t\times n} C=[cij​]t×n​：
  A ( B C ) = D m × n( A B ) C = E m × n A(BC)=D_{m\times n}\\(AB)C=E_{m\times n}A(BC)=Dm×n​(AB)C=Em×n​
  $D$中第$i$行第$j$列的元素等于$A$中$i$行与$BC$中$j$列对应元素相乘再相加：
  ∑ k = 1sa i k( ∑ p = 1tb k pc p j) = ∑ k = 1s∑ p = 1ta i kb k pc p j \sum_{k=1}^sa_{ik}(\sum_{p=1}^tb_{kp}c_{pj})=\sum_{k=1}^s\sum_{p=1}^ta_{ik}b_{kp}c_{pj}k=1∑s​aik​(p=1∑t​bkp​cpj​)=k=1∑s​p=1∑t​aik​bkp​cpj​
  同理$E$中第$i$行第$j$列的元素等于：
  ∑ p = 1t( ∑ k = 1sa i kb k p) c p j= ∑ k = 1s∑ p = 1ta i kb k pc p j \sum_{p=1}^t(\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kp})c_{pj}=\sum_{k=1}^s\sum_{p=1}^ta_{ik}b_{kp}c_{pj}p=1∑t​(k=1∑s​aik​bkp​)cpj​=k=1∑s​p=1∑t​aik​bkp​cpj​
  证毕。
• $A(B+C)=AB+AC$
• $(kA)(lB)=klAB$
• $AE=A,EA=A$
• $OA=O,AO=O$

注意：

• $AB\ne BA$
• $AB=O\nRightarrow A=O$或$B=O$
• $AB=AC,A\ne O\nRightarrow B=C$
• 若$A,B$是对角矩阵，则$AB=BA$
• [ a 1a 2a 3]n=A= [ a1na2na3n]\begin{bmatrix}a_1&&\\&a_2&\\&&a_3\end{bmatrix}^n=A=\begin{bmatrix}a_1^n&&\\&a_2^n&\\&&a_3^n\end{bmatrix} ​a1​​a2​​a3​​ ​n=A= ​a1n​​a2n​​a3n​​ ​

矩阵的转置

设 A = [ a i j] m × n A=[a_{ij}]_{m\times n}A=[aij​]m×n​，将$A$的行列互换，得到的$n\times m$矩阵 [ a j i] n × m [a_{ji}]_{n\times m}[aji​]n×m​称为$A$的转置矩阵，记为 AT A^TAT。转置运算法则：

• (A+B ) T= A T+ B T(A+B)^T=A^T+B^T (A+B)T=AT+BT
• (kA ) T=k A T(kA)^T=kA^T (kA)T=kAT
• (AB ) T= B T A T(AB)^T=B^TA^T (AB)T=BTAT
  证明：设A=[ a ij] m×s ,B=[ b ij] s×n A=[a_{ij}]_{m\times s},B=[b_{ij}]_{s\times n} A=[aij​]m×s​,B=[bij​]s×n​，则有：
  A B = [ c i j] m × n⇓ ( A B )T= [ c j i] n × m AB=[c_{ij}]_{m\times n}\\ \Downarrow\\ (AB)^T=[c_{ji}]_{n\times m}\\AB=[cij​]m×n​⇓(AB)T=[cji​]n×m​
  其中
  c j i= ∑ k = 1sa i kb k j c_{ji}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}cji​=k=1∑s​aik​bkj​
  令
  BTAT= [ d i j] n × m B^TA^T=[d_{ij}]_{n\times m}BTAT=[dij​]n×m​
  B T A TB^TA^T BTAT的$j$行$i$列元素是 B TB^T BT的$j$行与 A TA^T AT的$i$列所得，也是$B$的$j$列与$A$的$i$行所得，因此：
  d j i= ∑ k = 1sb k ja i k= c j i d_{ji}=\sum_{k=1}^sb_{kj}a_{ik}=c_{ji}dji​=k=1∑s​bkj​aik​=cji​
  证毕。
• ( A T ) T=A(A^T)^T=A (AT)T=A

若 AT= AA^T=AAT=A，则称$A$为对称矩阵，若 AT= − AA^T=-AAT=−A，则称$A$为反对称矩阵。

矩阵和方程组

现有一二元一次方程组：
{ a1x + b1y = c1( 1 ) a2x + b2y = c2( 2 )\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1(1)\\ a_2x+b_2y=c_2(2) \end{cases} {a1​x+b1​y=c1​(1)a2​x+b2​y=c2​(2)​
可用矩阵表示为：
[ a1b1a2b2] [ x y ]= [ c1c2] ⇓ AX=C\begin{bmatrix} a_1&b_1\\ a_2&b_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} {=} \begin{bmatrix} c_1\\ c_2 \end{bmatrix}\\ \Downarrow\\ AX=C [a1​a2​​b1​b2​​][xy​]=[c1​c2​​]⇓AX=C
其中$A$称为系数矩阵，$X$称为未知数矩阵，$C$称为常数项矩阵。

方阵和行列式

设 A = [ a i j]A=[a_{ij}]A=[aij​]为$n$阶方阵，其所有元素保持位置不动所构成的行列式称为方阵$A$的行列式，记为$$|A|$$注意：

• 仅有方阵才有行列式。
• $A=O$和$|A|=0$没有任何关系。

方阵行列式的性质：

• ∣ A T∣=∣A∣|A^T|=|A| ∣AT∣=∣A∣
• ∣kA∣= k n∣A∣|kA|=k^n|A| ∣kA∣=kn∣A∣
• $|AB|=|A||B|$
  证明：设$A$、$B$为$n$阶矩阵（以$n=2$）为例：
  A = [ a 11 a 12 a 21 a 22]B = [ b 11 b 12 b 21 b 22] A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{bmatrix} B= \begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22} \end{bmatrix}A=[a11​a21​​a12​a22​​]B=[b11​b21​​b12​b22​​]
  构成四阶行列式$D$：
  D = ∣ A ∣ ∣ B ∣ = ∣AO − EB∣= ∣ a 11 a 1200 a 21 a 2200 − 10 b 11 b 120 − 1 b 21 b 22∣= ∣ a 11 a 12 a11b11+ a12b21a11b12+ a12b22a 21 a 22 a21b11+ a22b21a21b12+ a22b22− 10000 − 100∣= ∣A A B − EO∣= − 1 ( 2 × 2 )∣ − E ∣ ∣ A B ∣ = ∣ A B ∣D =|A||B| = \begin{vmatrix} A&O\\ -E&B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&0&0\\ a_{21}&a_{22}&0&0\\ -1&0&b_{11}&b_{12}\\ 0&-1&b_{21}&b_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}&a_{22}&a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\\ -1&0&0&0\\ 0&-1&0&0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A&AB\\ -E&O \end{vmatrix} =-1^{(2\times2)}|-E||AB| =|AB|D=∣A∣∣B∣= ​A−E​OB​ ​= ​a11​a21​−10​a12​a22​0−1​00b11​b21​​00b12​b22​​ ​= ​a11​a21​−10​a12​a22​0−1​a11​b11​+a12​b21​a21​b11​+a22​b21​00​a11​b12​+a12​b22​a21​b12​+a22​b22​00​ ​= ​A−E​ABO​ ​=−1(2×2)∣−E∣∣AB∣=∣AB∣

伴随矩阵

设 A = [ a i j]A=[a_{ij}]A=[aij​]是$n$阶方阵，行列式$|A|$的每个元素 a i j a_{ij}aij​的代数余子式 A i j A_{ij}Aij​所构成的如下方阵称为$A$的伴随矩阵。 A ∗= [ A11A21… A n 1A12A22… A n 2⋮⋮⋮A 1 nA 2 n… A n n]A^*=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\dots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\dots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\dots&A_{nn}\end{bmatrix} A∗= ​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​………​An1​An2​⋮Ann​​ ​伴随矩阵的性质：

• A A ∗= A ∗A=∣A∣EAA^*=A^*A=|A|E AA∗=A∗A=∣A∣E
  证明：设$A$为$n$阶矩阵（以$n=2$）为例：
  A A∗= ∣ a 11 a 12 a 21 a 22∣∣ A 11 A 21 A 12 A 22∣= ∣ a11A11+ a12A12a11A21+ a12A22a21A11+ a22A12a21A21+ a22A22 ∣= ∣ ∣ A ∣OO ∣ A ∣∣= ∣ A ∣ ∣1001∣= ∣ A ∣ EAA^* = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A_{11}&A_{21}\\ A_{12}&A_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}&a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}\\ a_{21}A_{11}+a_{22}A_{12}&a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} |A|&O\\ O&|A| \end{vmatrix} =|A| \begin{vmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{vmatrix} =|A|EAA∗= ​a11​a21​​a12​a22​​ ​ ​A11​A12​​A21​A22​​ ​= ​a11​A11​+a12​A12​a21​A11​+a22​A12​​a11​A21​+a12​A22​a21​A21​+a22​A22​​ ​= ​∣A∣O​O∣A∣​ ​=∣A∣ ​10​01​ ​=∣A∣E
• 二阶矩阵的伴随矩阵：主对角线互换，副对角线变号。

可逆矩阵

对于$n$阶方阵$A$，如果存在$n$阶方阵$B$，使$$AB=BA=E$$则称矩阵$A$是可逆的，矩阵$B$是$A$的逆矩阵。如果矩阵$A$是可逆的，那么$A$的逆矩阵是唯一的，记作 A −1 A^{-1} A−1可逆矩阵的性质如下：

• 如果$A$可逆，则 A −1 A^{-1} A−1也是可逆的，且( A −1) −1 =A(A^{-1})^{-1}=A (A−1)−1=A。
  证明：令 B = A − 1 B=A^{-1}B=A−1
  那么：$$BA=AB=E$$
  所以$B$可逆且 B − 1= ( A − 1) − 1= AB^{-1}=(A^{-1})^{-1}=AB−1=(A−1)−1=A
• 如果$A$可逆，且$k\ne 0$，则$kA$可逆，且(kA ) −1 = 1 k A −1 (kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1} (kA)−1=k1​A−1。
• 如果$A,B$可逆，则$AB$也可逆，且(AB ) −1 = B −1A −1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1。
• 如果$A$可逆，则 A TA^T AT也可逆，且( A T ) −1 =( A −1) T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T (AT)−1=(A−1)T。
• $A$可逆$\iff |A|\ne 0$。
  证明：因为
  ∣ A A − 1∣ = ∣ A ∣ ∣ A − 1∣ = ∣ E ∣ = 1|AA^{-1}|=|A||A^{-1}|=|E|=1∣AA−1∣=∣A∣∣A−1∣=∣E∣=1
  所以$|A|\ne 0$
• $A,B$是$n$阶方阵，如果$AB=E$，则 A −1 =BA^{-1}=B A−1=B。
• 如果$A$可逆，则 A −1 = 1 ∣A∣A ∗A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* A−1=∣A∣1​A∗。
• 如果$A$可逆，则∣ A −1 ∣= 1 ∣A∣ |A^{-1}|=\frac{1}{|A|} ∣A−1∣=∣A∣1​。
• 如果A= [ a1a2a3]A=\begin{bmatrix}a_1&&\\&a_2&\\&&a_3\end{bmatrix} A= ​a1​​a2​​a3​​ ​是对角矩阵，则 A −1 = [ 1 a 11 a 21 a 3]A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{a_1}&&\\&\frac{1}{a_2}&\\&&\frac{1}{a_3}\end{bmatrix} A−1= ​a1​1​​a2​1​​a3​1​​ ​。

分块矩阵

对矩阵适当的进行分块处理，可以有效地进行计算，分块后有如下运算法则：

• [ A1A2A3A4]+ [ B1B2B3B4]= [A 1+ B 1 A 2+ B 2 A 3+ B 3 A 4+ B 4]\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}B_1&B_2\\B_3&B_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1+B_1&A_2+B_2\\A_3+B_3&A_4+B_4\end{bmatrix} [A1​A3​​A2​A4​​]+[B1​B3​​B2​B4​​]=[A1​+B1​A3​+B3​​A2​+B2​A4​+B4​​]
• [ A B C D ] [ X Y Z W ]= [ AX+BZAY+BWCX+DZCY+DW]\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X&Y\\Z&W\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}AX+BZ&AY+BW\\CX+DZ&CY+DW\end{bmatrix} [AC​BD​][XZ​YW​]=[AX+BZCX+DZ​AY+BWCY+DW​]
• [ABCD]T= [ ATCTBTDT]\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}A^T&C^T\\B^T&D^T\end{bmatrix} [AC​BD​]T=[ATBT​CTDT​]