3.5 基,维数与坐标

\quad本节,继续研究线性空间的结构。一般地,设 VVV 是数域 KKK 上的一个线性空间。

\quad首先,我们先将“线性相关”与“线性无关”的概念由“有限”向“无限”推广。

对比其它高等代数教程,邱老师在这一节非常巧妙的将“有限维”与“无限维”统一在了一起!

定义 1. 线性空间子集的线性相关与线性无关
(1) VVV 的一个有限子集 { α1, α2, ⋯  , αs}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}{α1,α2,,αs} 线性相关 : ⟺:\Longleftrightarrow:⟺ 向量组 α1, α2, ⋯  , αs \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}α1,α2,,αs 线性相关;
(2) VVV 的一个有限子集 { α1, α2, ⋯  , αs}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}{α1,α2,,αs} 线性无关 : ⟺:\Longleftrightarrow:⟺ 向量组 α1, α2, ⋯  , αs \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}α1,α2,,αs 线性无关;
(3) VVV 的一个无限子集 SSS 线性相关 : ⟺:\Longleftrightarrow:⟺ 存在 SSS 的一个有限子集线性相关;
(4) VVV 的一个无限子集 SSS 线性无关 : ⟺:\Longleftrightarrow:⟺ SSS 的任一个有限子集都线性无关。

例 1:平面 π\piπ 上的任意两个不共面的向量可成为该平面的一个基。

定义 2. 极大线性无关集与基:设 VVV 是数域 KKK 上的一个线性空间。 VVV 的一个子集 SSS 如果满足:
(1) SSS 是线性无关的;
(2)对于 ∀β ∈ V − S\forall ~ \boldsymbol{\beta} \in V – SβVS(如果还有的话),有 S ∪ { β }S \cup \{\boldsymbol{\beta}\}S{β} 线性相关,
则称 SSS VVV 的一个 极大线性无关集

\quad 可以看到,“极大线性无关集”的概念以及与“基”相近了,不过我们需要排除一些意外情况,比如 V={0}V =\{\boldsymbol{0}\} V={0}

\quad由前一节的讨论,我们知道 { 0 }\{\boldsymbol{0}\}{0} 是线性相关的,因此,若 V ≠ { 0 }V \ne \{\boldsymbol{0}\}V={0},则称 VVV 的一个极大线性无关集为 VVV 的一个

\quad如果将上述定义推广到 V = { 0 }V =\{\boldsymbol{0}\}V={0} 的情形,则需要做一些规定:空集 ϕ\phiϕ 是线性无关的。之后再进行分析:若 V = { 0 }V =\{\boldsymbol{0}\}V={0},由于
(1) ϕ\phiϕ 是线性无关的;
(2)对于 0 ∈ V − ϕ\boldsymbol{0} \in V – \phi0Vϕ,有 ϕ ∪ { 0 } = { 0 }\phi \cup \{\boldsymbol{0}\} = \{\boldsymbol{0}\}ϕ{0}={0} 线性相关,
定义 2 ϕ\phiϕ { 0 }\{\boldsymbol{0}\}{0} 的一个极大线性无关集,此时,我们称 ϕ\phiϕ VVV 的一个基。

\quad 定义 2 是合理的,但我们一般不会采用这个定义,因为这个定义比较抽象,不太直观。

定义 3. 基:设 VVV 是数域 KKK 上的一个线性空间。 VVV 的一个子集 SSS 若满足:
(1) SSS 是线性无关的;
(2) VVV 中的任一向量可由 SSS 中的有限多个向量线性表出,
则称 SSS VVV 的一个

\quad另外,
(1)若 S = { α1, α2, ⋯  , αr}S = \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r}\}S={α1,α2,,αr}(即 SSS 为有限集),也称向量组 α1, α2, ⋯  , αr \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r}α1,α2,,αr VVV 的一个(有序)基
(2)规定 ϕ\phiϕ 是线性无关的;
(3)规定线性空间 { 0 }\{\boldsymbol{0}\}{0} 的一个基是 ϕ\phiϕ

\quad 相较于定义 2,在定义 3 的基础上,只能规定”线性空间 {0}\{\boldsymbol{0}\} {0} 的一个基是 ϕ\phi ϕ“,而由定义 2 是可以直接推出的。

\quad现在思考一个问题:是否任一个线性空间都有基?答案是肯定的,详情请参见 高等代数——大学创新教材(下册) P158∼ P159 P_{158}\sim P_{159}P158P159

定义 4. 有限维与无限维
(1)若 VVV 有一个基是有限子集,则称 VVV有限维的
(2)若 VVV 有一个基是无限子集,则称 VVV无限维的

定理 1:若 VVV 是有限维的,则 VVV 的任意两个基所含个数相等。

证明:

\quad设向量组 { α1, α2, ⋯  , αs}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}{α1,α2,,αs} VVV 的一个基,任取 VVV 的另一个基 SSS

(1)若 SSS 所含的向量个数 > n>n>n,则在 SSS 中至少可取 n + 1n+1n+1 个向量 β1, β2, ⋯  , β n + 1 \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n+1}β1,β2,,βn+1。显然,向量组 { β1, β2, ⋯  , β n + 1}\{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n+1}\}{β1,β2,,βn+1} 可由向量组 { α1, α2, ⋯  , αs}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}{α1,α2,,αs} 线性表出,由于 n + 1 > nn+1>nn+1>n,因此 β1, β2, ⋯  , β n + 1 \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n+1}β1,β2,,βn+1 线性相关,从而产生矛盾。

(2)设 SSS 中所含向量的个数 ≤ n\le nn,不妨设为 mmm。显然有

{ α 1, α 2,⋯   , α s}≅{ β 1, β 2,⋯   , β m},\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} \cong \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{m}\}, {α1,α2,,αs}{β1,β2,,βm},

等价的线性无关的向量组所含向量的个数相等,因此 m = nm=nm=n.

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推论:若 VVV 是无限维的,则 VVV 的任意一个基都是无限维的。

定义 5. 维数
(1)若 VVV 是有限维的,则称 VVV 的一个基所含向量的个数为 VVV维数。记作: dim ⁡ V\dim VdimV
(2)若 VVV 是无限维的,则将 VVV 的维数记作 dim ⁡ V = ∞\dim V = \inftydimV=
(3)若 V = { 0 }V = \{\boldsymbol{0}\}V={0},则 dim ⁡ V = 0\dim V = 0dimV=0

命题 1:设 VVV nnn 维的,则 VVV 中任意 n + 1n+1n+1 个向量都线性相关。

命题 2:设 dim ⁡ V = n\dim V = ndimV=n S = { α1, α2, ⋯  , αn}S = \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}S={α1,α2,,αn} VVV 的一个基,则 VVV 中任一向量 α = a1α1+ ⋯ + anαn \boldsymbol{\alpha} = a_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\cdots + a_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n}α=a1α1++anαn 的表出方式唯一。

定义 6. 坐标:设 dim ⁡ V = n\dim V = ndimV=n { α1, α2, ⋯  , αn}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}{α1,α2,,αn} VVV 的一个基,向量 α = a1α1+ ⋯ + anαn∈ V\boldsymbol{\alpha} = a_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\cdots + a_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n} \in Vα=a1α1++anαnV,则称 α\boldsymbol{\alpha}α坐标 为:
( a 1 a 2 ⋮a n)\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{a}_1\\ \boldsymbol{a}_2\\ \vdots\\ \boldsymbol{a}_n\\ \end{array} \right) a1a2an

命题 3:设 dim ⁡ V = n\dim V = ndimV=n,则 VVV 中任意 nnn 个线性无关的向量都是 VVV 的一个基。

命题 4:设 dim ⁡ V = n\dim V = ndimV=n,若 VVV 中任一向量可由向量组 α1, α2, ⋯  , αn \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}α1,α2,,αn 线性表出,则集合 { α1, α2, ⋯  , αn}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}{α1,α2,,αn} VVV 的一个基。

命题 5:设 dim ⁡ V = n\dim V = ndimV=n,则 VVV 的任意一个线性无关的向量组都能扩充成 VVV 的一个基。

命题 6:设 dim ⁡ V = n\dim V = ndimV=n WWW VVV 的一个子空间,则 dim ⁡ W ≤ dim ⁡ V\dim W \le \dim VdimWdimV

命题 7:向量组 α1, α2, ⋯  , αn \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}α1,α2,,αn 的一个极大线性无关组是 <α1,α2,,αn> 的一个基。

命题 8:关于向量组的生成子空间,我们有:
( = )    ⟺ ( { α 1, α 2,⋯   , α s}≅ { β 1, β 2,⋯   , β t})\left( = \right) \,\,\Longleftrightarrow \left( \left\{ \boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots ,\boldsymbol{\alpha }_s \right\} \cong \left\{ \boldsymbol{\beta }_1,\boldsymbol{\beta }_2,\cdots ,\boldsymbol{\beta }_t \right\} \right) (<α1,α2,,αs>=<β1,β2,,βt>)({α1,α2,,αs}{β1,β2,,βt})