求与矩阵相似的三角矩阵

要求一个矩阵与给定矩阵相似，可以通过将该矩阵对角化的方法来实现。对角化的过程可以分解为两个步骤：首先找到该矩阵的特征值和特征向量，然后将特征向量按列组成的矩阵和一个对角矩阵相乘，得到相似的对角矩阵。

如果要求与矩阵$A$相似的三角矩阵，可以进行Schur分解。Schur分解是将一个矩阵分解为一个上三角矩阵和一个酉矩阵相乘的形式。具体来说，对于任意一个矩阵$A$，存在一个酉矩阵$Q$和一个上三角矩阵$T$，使得 A = Q T Q − 1 A=QTQ^{-1}A=QTQ−1。$T$即为与$A$相似的三角矩阵。

Schur分解可以用于求解复矩阵的特征值和特征向量，以及解线性方程组等问题。在实际应用中，可以使用MATLAB、Python等数值计算工具进行计算。
假设我们有一个矩阵$A$如下：

A= [ 1 2 2 0 2 2 0 0 3 ]A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} A= ​100​220​223​ ​

我们要求一个与$A$相似的三角矩阵$T$。首先，我们可以使用特征值和特征向量的方法对$A$进行对角化，求出$A$的特征值和特征向量如下：

λ1 =1,v 1= [ 1 0 0 ]λ2 =2,v 2= [ −11 0 ]λ3 =3,v 3= [ 1 −11 ]\begin{aligned} \lambda_1 &= 1, \quad v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \lambda_2 &= 2, \quad v_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \lambda_3 &= 3, \quad v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \end{aligned} λ1​λ2​λ3​​=1,v1​= ​100​ ​=2,v2​= ​−110​ ​=3,v3​= ​1−11​ ​​

我们将特征向量按列组成一个矩阵$Q$：

Q= [ 1 −11 0 1 −10 0 1 ]Q=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Q= ​100​−110​1−11​ ​

然后，我们将$Q$和$A$代入Schur分解公式 A = Q T Q − 1 A=QTQ^{-1}A=QTQ−1中，得到：

T= Q −1 AQ = [ 1 1 −10 1 1 0 0 1 ] [ 1 2 2 0 2 2 0 0 3 ] [ 1 −11 0 1 −10 0 1 ] = [ 1 2 0 0 2 1 0 0 3 ]\begin{aligned} T &= Q^{-1}AQ \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \end{aligned} T​=Q−1AQ= ​100​110​−111​ ​ ​100​220​223​ ​ ​100​−110​1−11​ ​= ​100​220​013​ ​​

因此，与矩阵$A$相似的三角矩阵$T$为：

T= [ 1 2 0 0 2 1 0 0 3 ]T=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} T= ​100​220​013​ ​

可以看到，$T$是一个上三角矩阵，与$A$相似。