前言

二叉树有什么用？
二叉树应用非常广泛。

在操作系统源程序中，树和森林被用来构造文件系统。我们看到的window和linux等文件管理系统都是树型结构。在编译系统中，如C编译器源代码中，二叉树的中序遍历形式被用来存放C 语言中的表达式。其次二叉树本身的应用也非常多，如哈夫曼二叉树用于JPEG编解码系统（压缩与解压缩过程）的源代码中，甚至于编写处理器的指令也可以用二叉树构成变长指令系统，另外二叉排序树被用于数据的排序和快速查找。

目录

1.树概念及结构
2.二叉树概念及结构
3.二叉树链式结构的实现

1.树结构及概念（了解）

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的。





节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的多颗树的集合称为森林；（数据结构中的学习并查集本质就是
一个森林）

1.2树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;struct Node{struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother;// 指向其下一个兄弟结点DataType _data;// 结点中的数据域};


1.3树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点：

  1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
  2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

2.2现实中的二叉树：

2.3数据结构中的二叉树：

2.4特殊的二叉树：

  1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。
  2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
二叉树的性质

  1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点.
  2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h- 1.
  3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
  4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=LogN

2.5.1 顺序存储：

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2.5.2 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩
子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。


下面我们用二叉链表来实现二叉树

//二叉树结构的定义typedef char BTDataType;typedef struct BinaryTreeNode{struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;BTDataType data;}BTNode;

先序

//先序void PrevOrder(BTNode* root){if (root == NULL){printf("NULL ");return;}printf("%c ", root->data);PrevOrder(root->left);PrevOrder(root->right);}

中序

//中序void InOrder(BTNode* root){if (root == NULL){printf("NULL ");return;}InOrder(root->left);printf("%c ", root->data);InOrder(root->right);}

后序

//后序void PostOrder(BTNode* root){if (root == NULL){printf("NULL ");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%c ", root->data);}

求节点个数

//节点个数int BTNodeSize(BTNode* root){return root == NULL " />0 : BTNodeSize(root->left) + BTNodeSize(root->right) + 1;}

叶子数

//叶子数int LeafNodeSize(BTNode* root){//空节点if (root == NULL){return 0;}//叶子节点if (root->left == NULL && root->right==NULL){return 1;}//既不是叶子节点也不是空节点return LeafNodeSize(root->left) + LeafNodeSize(root->right);}

用队列实现广度优先搜索遍历二叉树

void LevelOrder(BTNode* root){Queue q;QueueInit(&q);if(root)QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* Front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);printf("%c ", Front -> data);if (Front->left){QueuePush(&q, Front->left);}if (Front->right){QueuePush(&q, Front->right);}}printf("\n");QueueDestroy(&q);}

Queue.h

#pragma once#include#include#include#includestruct BinaryTreeNode;typedef struct BinaryTreeNode* QDataType;typedef struct QueueNode{struct QueueNode* next;QDataType data;}QNode;typedef struct Queue{QNode* head;QNode* tail;}Queue;//初始化void QueueInit(Queue* pq);//销毁队列void QueueDestroy(Queue* pq);//入队列void QueuePush(Queue* pq, QDataType x);//出队列void QueuePop(Queue* pq);//取队列的队头元素QDataType QueueFront(Queue* pq);//取队列的队尾元素QDataType QueueBack(Queue* pq);//返回队列长度int QueueSize(Queue* pq);//判空bool QueueEmpty(Queue* pq);

Queue.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include"Queue.h"//初始化void QueueInit(Queue* pq){assert(pq);pq->head = NULL;pq->tail = NULL;}//销毁队列void QueueDestroy(Queue* pq){assert(pq);QNode* cur = pq->head;while (cur){QNode* next = cur->next;free(cur);cur = next;}pq->head = pq->tail = NULL;}//队尾入void QueuePush(Queue* pq, QDataType x){assert(pq);QNode* newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));if (newnode == NULL){printf("malloc fail\n");exit(-1);}newnode->data = x;newnode->next = NULL;if (pq->tail == NULL){pq->tail = newnode;pq->head = newnode;}else{pq->tail->next = newnode;pq->tail = newnode;}}//队头出void QueuePop(Queue* pq){//1.一个//2.多个assert(pq);assert(pq->head);if (pq->head->next == NULL){free(pq->head);pq->head = pq->tail = NULL;}else{QNode* next = pq->head->next;free(pq->head);pq->head = next;}}//取队列的队头元素QDataType QueueFront(Queue* pq){assert(pq);assert(pq->head);return pq->head->data;}//取队列的队尾元素QDataType QueueBack(Queue* pq){assert(pq);assert(pq->head);return pq->tail->data;}//返回队列长度int QueueSize(Queue* pq){assert(pq);int size = 0;QNode* cur = pq->head;while (!cur){size++;cur = cur->next;}return size;}//判空bool QueueEmpty(Queue* pq){assert(pq);return pq->head == NULL;}

test.c

//测试int main(){BTNode* A =(BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));A->data = 'A';A->left = NULL;A->right = NULL;BTNode* B=(BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));B->data = 'B';B->left = NULL;B->right = NULL;BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));C->data = 'C';C->left = NULL;C->right = NULL;BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));D->data = 'D';D->left = NULL;D->right = NULL;BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));E->data = 'E';E->left = NULL;E->right = NULL;A->left = B;A->right = C;B->right = E;B->left = D;PrevOrder(A);printf("\n");InOrder(A);printf("\n");PostOrder(A);printf("\n");printf("BTNodeSize: %d\n", BTNodeSize(A));printf("BTNodeSize: %d\n", BTNodeSize(B));printf("BTNodeSize: %d\n", BTNodeSize(C));printf("叶子节点数：%d\n", LeafNodeSize(A));LevelOrder(A);return 0;}

代码运行结果：