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目录
1、树概念及结构
1.1、树的概念
1.2 树的相关概念
2、二叉树概念及结构
2.1、概念
2.2、特殊的二叉树
2.3、二叉树的性质
2.5 、二叉树的存储结构
3、二叉树的顺序结构及实现
3.1、二叉树的顺序结构
3.2、堆的概念及结构
3.3、堆的实现
3.3.1、堆的结构代码
3.3.2、堆的初始化
3.3.3、堆的插入
3.3.4、堆的删除
3.3.5、取堆顶数据
3.3.6、堆的个数
3.3.7、堆的判空
3.3.8、堆的销毁
3.4、建堆的时间复杂度
3.4.1、向上建堆的时间复杂度
3.4.2、向下调整建堆的时间复杂度证明
3.5、堆的应用
3.5.1、堆排序
3.5.2、堆排序代码
3.5.3、TOP-K问题
1、树概念及结构
1.1、树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
- 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
- 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
- 因此，树是递归定义的。
下面我们来看一个树的结构图：
注意：树形结构中，子树之间是不能有交集的，否则就不是树形结构，变成了一个图。
1.2 树的相关概念
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推； 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；
2、二叉树概念及结构
2.1、概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合: 1. 或者为空 2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
从上图可以看出：
1. 二叉树不存在度大于2的结点 2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
2.2、特殊的二叉树
1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。 2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。 
2.3、二叉树的性质
1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)个结点. 2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h-1. 3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0＝n2 ＋1 4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log(n+1). (ps： 是log以2 为底，n+1为对数) 5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对 于序号为i的结点有： 1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点 2. 若2i+1=n否则无左孩子 3. 若2i+2=n否则无右孩子
2.5 、二叉树的存储结构
目前我们是需要讲堆结构的，这里只详细介绍二叉树的顺序存储
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。 1. 顺序存储 顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。 如下图所示： 
3、二叉树的顺序结构及实现
3.1、二叉树的顺序结构
普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结 构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
3.2、堆的概念及结构
堆是具有下列性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆（例如下面第一张图所示）；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆（例如下面第二张图所示）
3.3、堆的实现
3.3.1、堆的结构代码
typedef int HPDataType;typedef struct Heap{HPDataType* a;//数组int size;//堆结点个数int capacity;//堆的容量}Heap;3.3.2、堆的初始化
// 堆的构建void HeapCreate(Heap* hp){assert(hp);hp->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(int) * 4);hp->size = 0;hp->capacity = 4;}3.3.3、堆的插入
//堆的向上调整void AdjustUp(HPDataType* a, int child){ //这里构建的是大根堆int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0)//如果孩子结点不大于0就跳出循环{if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;//孩子结点走到父节点parent = (child - 1) / 2;//更新父节点}else{break;}}}void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x){assert(hp);if (hp->size == hp->capacity)//判断堆的容量是否满足{HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->a, sizeof(int) * hp->capacity * 2);if (tmp == NULL){perror("realloc fail:");exit(-1);}hp->a = tmp;hp->capacity *= 2;}hp->a[hp->size] = x;hp->size++;AdjustUp(hp->a, hp->size - 1);//插入向上调整算法}算法思想：
我们每次向堆里面插入一个树，都需要调用向上调整算法，如果我们不这样操作，那么我们插入的数就不是一个大根堆，就无法实现堆的删除，取前k大的数等等操作
1.首先我们先让插入的数当做孩子结点，拿去和父亲结点比较，如果孩子结点大于父结点，那么我们就需要交换
2.更新孩子结点和父节点
3.孩子结点不大于0就跳出循环
3.3.4、堆的删除
//堆的向下调整void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent){int child = 2 * parent + 1;while (child < n){if (child + 1 a[child]){child += 1;}if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = 2 * parent + 1;}else{break;}}}void HeapPop(Heap* hp){assert(hp);Swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size - 1]);将堆顶的数和最后一个叶子结点交换hp->size--;//堆个数减1AdjustDown(hp->a, hp->size, 0);//调用向下调整算法}算法思想：
1.交换堆顶和最后叶子结点
2.堆个数减12，并且调用向下调整算法
3.找到孩子两个孩子结点中最小的结点，将™交换
4.更新父节点和孩子结点
5.如果孩子结点大于结点个数就退出循环
3.3.5、取堆顶数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp){assert(hp);return hp->a[0];}3.3.6、堆的个数
int HeapSize(Heap* hp){assert(hp);return hp->size;}3.3.7、堆的判空
bool HeapEmpty(Heap* hp){assert(hp);return hp->size == 0;}3.3.8、堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp){assert(hp);free(hp->a);hp->capacity = hp->size = 0;}3.4、建堆的时间复杂度
3.4.1、向上建堆的时间复杂度
时间复杂度证明如下图所示：
3.4.2、向下调整建堆的时间复杂度证明
向下调整建堆的时间复杂度是O（N），是向上调整建堆的时间复杂度的优化
计算证明如下图所示：
3.5、堆的应用
3.5.1、堆排序
堆排序就是利用堆进行排序的方法。它的基本思想是，将待排序的序列构造成一个大顶堆。此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将它移走（其实就是将其与堆数组的末尾元素交换，此时末尾元素就是最大值），然后将剩余的n-1个序列重新构造一个堆，这就会得到n个元素的次大值。如此反复执行，便能得到一个有序序列。
注意：我们需要升序，就需要建大堆。降序就需要建小堆。
堆排序的图形演示：
从左至右，从上至下演示
3.5.2、堆排序代码
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#includevoid Swap(int* p1, int* p2){int x = *p1;*p1 = *p2;*p2 = x;}void PrintArray(int* a, int n){for (int i = 0; i < n; i++){printf("%d ", a[i]);}}void AdjustDown(int* a, int n, int parent){int child = 2 * parent + 1;while (child <= n){if (child + 1 <= n && a[child + 1] < a[child]){child += 1;}if (a[child] = 0; i--){AdjustDown(a, n - 1, i);}int end = n - 1;while (end > 0){Swap(&a[0], &a[end]);end--;AdjustDown(a, end, 0);}PrintArray(a, n);}int main(){int a[10] = { 4,2,7,8,3,1,5,6,9,0 };HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));return 0;}3.5.3、TOP-K问题
TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。 比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。 对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下： 1. 用数据集合中前K个元素来建堆 前k个最大的元素，则建小堆 前k个最小的元素，则建大堆 2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素 将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。 这里利用文件形式演示top-k问题 代码如下：
#include#include#include#includevoid Swap(int * p1,int * p2){int x = *p1;*p1 = *p2;*p2 = x;}//堆的向下调整void AdjustDown(int * a, int n, int parent){int child = 2 * parent + 1;while (child < n){if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child]){child += 1;}if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = 2 * parent + 1;}else{break;}}}void PrintTopK(const char* fin, int k){// 1. 建堆--用a中前k个元素建堆int* topK = (int*)malloc(sizeof(int) * k);if (topK == NULL){perror("malloc fail:");return;}FILE* fout = fopen(fin, "r");if (fout == NULL){perror("FILE fail");return;}for (int i = 0; i = 0; i--){AdjustDown(topK, k, i);}int val = 0;int ret = fscanf(fout, "%d", &val);while (ret != EOF){if (val > topK[0]){topK[0] = val;AdjustDown(topK, k, 0);}ret = fscanf(fout, "%d", &val);}for (int i = 0; i < k; i++){printf("%d ", topK[i]);}printf("\n");free(topK);fclose(fout);}void CreateNDate(){// 造数据int n = 10000;srand(time(0));const char* file = "data.txt";FILE* fin = fopen(file, "w");if (fin == NULL){perror("fopen error");return;}for (size_t i = 0; i < n; ++i){int x = rand() % 10000;fprintf(fin, "%d\n", x);}fclose(fin);}int main(){CreateNDate();PrintTopK("data.txt", 10);return 0;}
注：这里得到的就是前10个最大的数
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