文章目录

    • 离散化模板
    • 巩固练习
      • 电影
      • 区间和
      • 金发姑娘和 N 头牛
      • 粉刷栅栏
      • 线段覆盖
      • 逆序对
      • 程序自动分析

## 基本介绍

离散化：把无限空间中有限的个体映射到有限的空间中去，以此提高算法的时空效率。通俗的说，离散化是在不改变数据相对大小的条件下，对数据进行相应的缩小。

适用范围：数组中元素值域很大，但个数不是很多。
比如将a[]=[1,3,100,2000,500000]映射到[0,1,2,3,4]这个过程就叫离散化。

离散化常与差分、前缀和、数组数组、线段树结合考查。

离散化模板

离散化有两个实现方式：

1、手写离散化

例如：对于序列 [105，35，35，79，-7]，排序并去重后变为 [-7，35，79，105]，由此就得到了对应关系 -7->1, 35->2, 79->3, 105->4。

基本的步骤可以分为：

1、用一个辅助的数组把你要离散的所有数据存下来。

2、排序，排序是为了后面的二分。

3、去重，因为我们要保证相同的元素离散化后数字相同。

4、索引，再用二分把离散化后的数字放回原数组。

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素// 二分求出x对应的离散化的值int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置{    int l = 0, r = alls.size() - 1;    while (l < r)    {        int mid = l + r >> 1;        if (alls[mid] >= x) r = mid;        else l = mid + 1;    }    return r + 1; // +1:映射到1, 2, ...n（不加的话就是0~n-1）}

非vector版本：

（从1开始输入的话vector不方便）

#include // 头文件  const int MAXN = 1e6+4;//n 原数组大小 num 原数组中的元素 lsh 离散化的数组 cnt 离散化后的数组大小 int lsh[MAXN], cnt, num[MAXN], n; for (int i = 1; i <= n; i ++) {    scanf("%d", &num[i]);    lsh[i] = num[i];} sort(lsh + 1 , lsh + n + 1);//排序cnt = unique(lsh + 1, lsh + n + 1) - lsh - 1;//去重 // 二分求出x对应的离散化的值int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置{    int l = 1, r = cnt;    while (l < r)    {        int mid = l + r >> 1;        if (alls[mid] >= x) r = mid;        else l = mid + 1;    }    return r; // 映射到1, 2, ...n}

【知识点】

对于随机给定的一个数组，去除其中所包含的重复元素可以通过调用C++的库函数unique来实现。

但有一点需要注意的是，unique仅是对相邻的重复元素进行去重，若要对随机给定的数组进行去重则需要先对数组进行排序，使得重复元素相邻.

#include#includeusing namespace std;int main(){int n = 10;int a[10] = {4, 7, 4, 7, 2, 4, 6, 7, 4, 2};sort(a, a + n);int m = unique(a, a + n) - a;// 从0开始cout << "数组新的长度 " << m << endl;cout << "新数组 ";for(int i = 0;i < m; ++i){cout << ' ' << a[i];}return 0;}

数组新的长度 4
新数组 2 4 6 7

注意事项：

1、去重并不是把数组中的元素删去，而是重复的部分元素在数组末尾，去重之后数组的大小要减一。

2、二分的时候，注意二分的区间范围，一定是离散化后的区间。

3、如果需要多个数组同时离散化，那就把这些数组中的数都用数组存下来。

2、map映射

（由于不需要排序和去重等操作，会比第一种好写，且代码量会少很多）：可以用 map（每次在map中查询一下这个值是否存在，如果存在则返回对应的值，否则对应另一个值）或 hash表（即unordered_map或手写hash表，运用方式和map相同）。

map与unordered_map的区别

  • 对于map的底层原理，是通过红黑树（一种非严格意义上的平衡二叉树）来实现的，因此map内部所有的数据都是有序的（默认按key进行升序排序），map的查询、插入、删除操作的时间复杂度都是O(logn)。
  • unordered_map和map类似，都是存储的key-value的值，可以通过key快速索引到value。不同的是unordered_map不会根据key的大小进行排序，存储时是根据key的hash值判断元素是否相同，即unordered_map内部元素是无序的。unordered_map的底层是一个防冗余的哈希表（开链法避免地址冲突）。

巩固练习

电影

【题目链接】

步骤：

1、用 alls数组收集所有语言。
2、对 alls数组排序、去重。
3、find 函数用于把原始的稀疏编号转变为稠密编号。
4、ans 数组记录每种语言的科学家数。即这门语言有多少科学家会。
5、遍历所有电影，以每部电影的语音语言为条件，在ans数组中找最大值，若有多个相同的最大值，就找字幕语言最多的。

【代码实现】

#include #include #include using namespace std;const int N = 2e5 + 10;int a[N], b[N], c[N];int ans[N * 3];//3*N是因为语言的来源有3个地方，假设都不相同，则有3*N种语言vector<int> alls;int n, m;int find(int x){    int l = 0, r = alls.size() - 1;    while(l < r)     {        int mid = l + r >> 1;        if(alls[mid] >= x) r = mid;        else l = mid + 1;    }    return r;}int main(){    cin >> n;    for (int i = 0; i < n; i ++ )//保存科学家会的语言    {        cin >> a[i];        alls.push_back(a[i]);    }        cin >> m;    for (int i = 0; i < m; i ++ )    {        cin >> b[i];        alls.push_back(b[i]);    }    for (int i = 0; i < m; i ++ )    {        cin >> c[i];        alls.push_back(c[i]);    }    // 排序 + 去重    sort(alls.begin(), alls.end());    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());        //a[i]中保存原始的稀疏编号，用find转变成稠密编号，并用ans数组记录每种语言出现的次数。    for(int i = 0; i < n; i ++) ans[find(a[i])]++;        //遍历所有电影，按要求找到最多科学家会的电影    int ans0 = 0, ans1 = 0, ans2 = 0;    //ans0保存最终结果，ans1和ans2为中间结果    for (int i = 0; i < m; i ++ )    {        //会第i个电影音频的科学家数；会第i个电影字幕的科学家数        int anx = ans[find(b[i])];        int any = ans[find(c[i])];        // 前者判断条件表示有电影刷新        // 后者判断条件表示相同电影条件下的字幕刷新        if(anx > ans1 || (anx == ans1 && any > ans2))        {            ans0 = i + 1;// 我们下标从0开始的            ans1 = anx;            ans2 = any;        }            }        if(ans0 == 0) puts("1");// 如果所有电影的音频和字幕科学家都不懂，随便选一个电影    else cout << ans0;        return 0;}

区间和

思路：值域很大用离散化压缩优化！

【代码实现】

#include #include #include #define x first#define y secondusing namespace std;typedef pair<int, int> PII;const int N = 3e5 + 10;int a[N], s[N];vector<PII> add, query; // 方便我们离散化还原数值，和区间查询操作vector<int> alls; // 存储数值进行离散化操作int n, m;// 二分求出x对应的离散化的值int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置{        int l = 0, r = alls.size() - 1;    while(l < r)    {        int mid = l + r >> 1;        if(alls[mid] >= x) r = mid;        else l = mid + 1;    }    return r + 1;}int main(){    cin >> n >> m;    for (int i = 0; i < n; i ++ )    {        int x, c;        cin >> x >> c;        add.push_back({x, c});                alls.push_back(x);    }        for (int i = 0; i < m; i ++ )    {        int l, r;        cin >> l >> r;        query.push_back({l, r});                alls.push_back(l);        alls.push_back(r);    }        // 排序 + 去重    sort(alls.begin(), alls.end());    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());        // 数值还原映射到a[]数组    for(auto item : add)    {        int x = find(item.x);// 找到映射后的位置        a[x] += item.y;// 插入数值    }        // 预处理前缀和    for (int i = 1; i <= alls.size(); i ++ ) s[i] = s[i - 1] + a[i];        // 处理区间和    for(auto item : query)    {        // 找到离散化后对应的位置        int l = find(item.x), r = find(item.y);        cout << s[r] - s[l - 1] << endl; // 前缀和求区间和    }        return 0;}

金发姑娘和 N 头牛

【题目链接】1952. 金发姑娘和 N 头牛 – AcWing题库

区间和的应用题

m：20000

n：1e^9

裸差分O(n + m)会爆炸，长度虽然很长但绝大部分的点都用不到，因此可以用离散化进行压缩

【代码实现】

map实现离散化：

#include #include #include #include using namespace std;const int INF = 2e9;int n, x, y, z;int main(){    map<int, int> b; // 离散化及差分数组        cin >> n >> x >> y >> z;    for (int i = 0; i < n; i ++ )    {        //给三个大区间 + c        int l, r;        cin >> l >> r;        //[-INF,r)        b[-INF] += x;        b[l] -= x;        //[l, r]        b[l] += y;        b[r + 1] -= y;        //b(r, INF]        b[r + 1] += z;        b[INF] -= z;    }    int res = 0, sum = 0;    // 枚举差分数组，求前缀和，更新最大值    for(auto& [k, v] : b)// map的遍历方式    {        sum += v;// 前缀和        res = max(res, sum);    }        /*for(auto item : b)// 这样遍历也可以    {        sum += item.second;// 前缀和        res = max(res, sum);    }    */        cout << res;        return 0;}

手写实现离散化：

#include #include #include #include #define x first#define y secondusing namespace std;const int N = 2e5 + 10;typedef pair<int, int> PII;const int INF = 2e9;vector<PII> query;// 存储温度区间vector<int> alls;// 存储离散化后的数值int b[N * 2]; // 差分数组int n, x, y, z;int find(int x){    int l = 0, r = alls.size() - 1;    while(l < r)    {        int mid = l + r >> 1;        if(alls[mid] >= x) r = mid;        else l = mid + 1;    }     return r;}int main(){    cin >> n >> x >> y >> z;    alls.push_back(-INF), alls.push_back(INF);        for (int i = 0; i < n; i ++ )    {        int l, r;        cin >> l >> r;        query.push_back({l, r});                alls.push_back(l);        alls.push_back(r);    }    // 排序 + 排重    sort(alls.begin(), alls.end());    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());        // 枚举所有区间, 求出离散化后的值    for (auto item : query)    {        int l = find(item.x), r = find(item.y);        // -INF映射到下标0 INF映射到alls.szie()-1        b[0] += x;        b[l] -= x;                b[l] += y;        b[r + 1] -= y;                b[r + 1] += z;        b[alls.size() - 1] -= z;    }         // 枚举差分数组，求前缀和，更新最大值    int sum = 0, res = 0;    for (int i = 0; i < alls.size(); i ++ )    {        sum += b[i];        res = max(res, sum);    }        cout << res;        return 0;}

粉刷栅栏

【题目链接】

线段覆盖

【题目链接】4195. 线段覆盖 – AcWing题库

思路：差分 + 离散化

  • 一开始假设我们有一个横坐标区间轴，初始都为0，每每来一条线段，我们就给这条线内所有点的数值 + 1，将所有线段操作完之后，统计一下最开始数组里边值为1、3、…的数有多少个。
  • 回想裸差分坐标是直接用数组来存的，但本题的坐标范围达到10^18，因此不能用数组来存，而实际操作的点并不是很多（最多2n个），因此可以用离散化压缩（map实现）

【代码实现】

#include #include #include #include using namespace std;typedef long long LL;const int N = 200010;map<LL, int> b;         //b是用map构建的差分数组，用来记录l，rLL ans[N];              //ans代表答案数组，ans[i]即被i条线段覆盖的点有几个int main(){    int n;    scanf("%d", &n);    for (int i = 0; i < n; i ++ )    {        LL l, r;        scanf("%lld%lld", &l, &r);                 b[l] ++, b[r + 1] -- ;              //构建差分    }    LL sum = 0, last = -1;                  //sum记录的是如今重叠的次数，last记录上一个点（便于相减求中间点的数量    for (auto& [k, v]: b)                   //枚举map中的点    {            if (last != -1) ans[sum] += k - last;           sum += v;        last = k;            //记录一下现在的点    }    for (int i = 1; i <= n; i ++ )          //输出结果        printf("%lld ", ans[i]);    return 0;}

逆序对

【代码实现】

#include #include #include #include using namespace std;const int N = 1e8 + 10;typedef long long LL;int len;int a[N];int tr[N];// vector alls;int alls[N];int find(int x){    int l = 1, r = len;    while(l < r)    {        int mid = l + r >> 1;        if(alls[mid] >= x) r = mid;        else l = mid + 1;    }    return r;}int lowbit(int x)  // 返回末尾的1{    return x & -x;}//这个树状数组的下标是数的范围，不是题中的n，数的个数的范围。void add(int idx, int c){    for(int i = idx; i <= len; i += lowbit(i)) tr[i] += c;}int sum(int x){    int res = 0;    for (int i = x; i ; i -= lowbit(i)) res += tr[i];    return res;}int main(){    int n;    cin >> n;    for (int i = 1; i <= n; i ++ )    {         cin >> a[i];         alls[i] = a[i];    }    // 排序 + 去重    sort(alls + 1, alls + 1 + n);    len = unique(alls + 1, alls + 1 + n) - alls - 1;// 去重后的长度    LL res = 0;    for (int i = 1; i <= n; i ++ )    {        int x = find(a[i]);        res += sum(len) - sum(x);        add(x, 1);            }    cout << res;        return 0;}

程序自动分析

【题目链接】[P1955 NOI2015] 程序自动分析 – 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路：

分析一下上面的举例，我们可以发现这组约束条件中“相等”的约束条件可以看做是一个并查集合并的过程，如x1=x2，相当于是将x1，x2合并到一个集合的操作，而“不等”的约束条件，如x1≠x4相当于是在说x1和x4不属于一个集合。

首先，对于约束条件的配置顺序我们是不关心的，换句话说，顺序不会影响我们最终的结果，因此我们可以先考虑相等的情况：xi=xj（这些情况当然不可能有矛盾），再考虑不等的情况：xi!=xj，如果根据之前相等的情况已经可以推出xi=xj，即xi、xj两者已经在同一集合中了，则表明有矛盾。

离散化有两种写法：

第一种是保序：离散化前是什么大小关系，离散化后还是什么大小关系（排序、判重、二分，可用库函数来实现）。

第二种不要求保序（由于不需要排序和去重等操作，会比第一种好写，且代码量会少很多）：可以用 map（每次在map中查询一下这个值是否存在，如果存在则返回对应的值，否则对应另一个值）或 hash表（即unordered_map或手写hash表，运用方式和map相同）。

unordered_map<int, int> S;n = 0; //从第0个位置开始// 离散化操作int get(int x){    if(!S.count(x)) S[x] = ++ n;    return S[x];}

步骤：

  1. 离散化。
  2. 将所有相等条件合并（并查集）。
  3. 依次判断每个不等条件（query）。

【代码实现】

#include #include #include #include using namespace std;const int N = 2e5 + 10;int n, m;int p[N];unordered_map<int, int> S;struct Query{    int x, y, e;}query[N];// 离散化操作int get(int x){    if(!S.count(x)) S[x] = ++ n;    return S[x];}int find(int x)  // 并查集{    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);    return p[x];}int main(){    int T;    cin >> T;    while(T --)    {        n = 0;        S.clear(); //多组测试数据        cin >> m;        for (int i = 0; i < m; i ++ )        {            int x, y, e;            cin >> x >> y >> e;            x = get(x), y = get(y); // 先离散化            query[i] = {x, y, e};        }                for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i; // 离散化后再初始化并查集                // 先合并相等的情况        for(int i = 0; i < m; i ++)        {            if(query[i].e == 1)            {                int pa = find(query[i].x), pb = find(query[i].y);                p[pa] = pb;            }        }        // 检查不相等的情况，看看是否矛盾        bool flag = false;        for (int i = 0; i < m; i ++ )        {            if(query[i].e == 0)            {                int pa = find(query[i].x), pb = find(query[i].y);                if(pa == pb)                {                    flag = true;                    break;                }            }        }        if(flag) puts("NO");        else puts("YES");    }     return 0;}

部分内容学习转载：

  1. 作者：liangshang。链接：链接
  2. 作者：努力的老周。链接：离散化_努力中的老周的专栏-CSDN博客

参考文献：

  1. acwing算法基础课
  2. 洛谷题库